2. Grundlagen (Teil 1)

2.1 Modelle

(vgl. [Kleinewefers, 1983])

Der Begriff "Modell" wird in der Alltagssprache sehr unterschiedlich verwendet. Gemeinsam ist den verschiedenen Auffassungen, dass die Modelle "etwas über die tatsächliche oder gedachte, konstruierte, mögliche bzw. erwünschte Wirklichkeit aussagen" ([Kleinewefers, 1983; S. 9]). Aufgrund der hohen Komplexität der Realität ist es jedoch nicht möglich, sämtliche Aspekte im Modell zu erfassen. Einschränkungen müssen gemacht werden. Das bedeutet, dass durch ein Modell immer Grenzen gesetzt werden und nicht die gesamte Realität oder zumindest der gewünschte Umweltausschnitt vollständig beschrieben oder erklärt werden kann.

In den folgenden Abschnitten werden deshalb unter anderem die Möglichkeiten und Grenzen von Modellen im allgemeinen aufgezeigt, Definitionen sowie Klassifikationen angegeben und Ansatzpunkte zur Kritik von Modellen beschrieben. Zudem wird der Bezug zum Modell von [Kreutzberg, 1998] und zu Prinzipal-Agent-Modellen gemacht, so dass die Einordnung dieser Modelle und die damit verbundenen Einschränkungen erkennbar sind.

2.1.1 Definition

Modelle werden in unterschiedlichen Gebieten verwendet, wie zum Beispiel in der Malerei, Bildhauerkunst, Mode, Technik, Naturwissenschaften und Wirtschaftswissenschaften. Dabei sind die Definitionen teilweise sehr unterschiedlich.

Im weiteren Verlauf dieser Arbeit wird für den Begriff "Modell" folgende Definition verwendet: Ein Modell stellt als Hilfsmittel des wissenschaftlichen Erkenntnisprozesses ein im Hinblick auf eine bestimmte Fragestellung konstruiertes, vereinfachtes Abbild eines durch Zusammenhänge zwischen den betrachteten Phänomenen gekennzeichneten Ausschnitts der Realität dar. (vgl. [Vahlen, 1993], [Brockhaus, 1991])

2.1.2 Klassifikation

Modelle können anhand verschiedener Kriterien klassifiziert werden. Aus einer Unterteilung in Modelltypen resultieren Konsequenzen; mit der Unterscheidung sind Annahmen und somit Einschränkungen verbunden, und oft werden aus der Trennung auch gleich Grenzen des Modells erkennbar.

In diesem Abschnitt werden wichtige Unterscheidungskriterien genannt. In den Abschnitten "Einordnung des nichtlinearen Modells von [Kreutzberg, 1998]" und "Einordnung des Prinzipal-Agent-Standardmodells" werden diese Kriterien wieder aufgegriffen und die betreffenden Modelle eingeordnet.

Aufgrund des elementaren Zwecks können die Modelle unterteilt werden in:

• Beschreibungsmodelle: Mit Hilfe dieser Modelle werden reale Objekte deskriptiv erfasst ([Gabler, 1992]). Grenzen und Fehlerquellen ergeben sich aus diesem Modelltyp, wenn bei der Beschreibung relevante Tatsachen nicht berücksichtigt werden (beispielsweise als unwichtig interpretiert werden) oder zusätzliche Annahmen unbewusst ins Modell integriert werden.

• Erklärungsmodelle: Wird ein bestimmter Sachverhalt festgestellt oder vermutet, so wird ein Erklärungsmodell benötigt, welches es erlaubt, aufgrund von anderen Sachverhalten mit Hilfe von empirischen oder logischen Gesetzmässigkeiten den betreffenden Sachverhalt zu folgern. Es interessiert die Frage, welche Auswirkungen die Änderung von exogenen Variablen oder Parametern im Modell haben. Die Schwierigkeit bei solchen Modellen liegt, neben den bereits genannten Problemen, beim Ableiten des Sachverhalts. Beispielsweise können Gesetzmässigkeiten empirisch nicht oder nur mit Schwierigkeiten festgestellt werden, und die zusätzlichen Annahmen können falsch sein.

• Entscheidungsmodelle: Sie sind eng verknüpft mit Erklärungsmodellen. Die Zielvorstellungen der Modellbenutzer gehen ins Entscheidungsmodell ein, und es wird gefragt, was mit den jeweiligen Faktoren im Modell gemacht werden muss, um die Zielgrösse in die gewünschte Richtung zu lenken. Normalerweise bedeutet dies das Maximieren der Zielgrösse. Beim Entscheidungsmodell handelt es sich deshalb um ein normatives Modell.

Es ist zu beachten, dass die vorgestellten Modelltypen aufeinander aufbauen und somit die Einschränkungen und Schwierigkeiten des vorausgegangenen Typs ebenfalls enthalten.

Im Wesentlichen lassen sich Modelle verbal, graphisch, räumlich und mathematisch-analytisch darstellen. Die graphische und räumliche Darstellung spielt vor allem in den Ingenieur- und Naturwissenschaften eine grosse Rolle. Zwar treten bei den in dieser Arbeit zu untersuchenden Modellen vereinzelt graphische Darstellungen auf, dabei ist es aber jeweils nur ein kleiner Schritt zur verbalen Darstellung, so dass graphische und räumliche Modelle hier nicht weiter berücksichtigt werden.

Wenn der abzubildende Umweltausschnitt informal, das heisst in Textform wiedergegeben wird, so hat dies den Vorteil, dass das Modell relativ leicht verständlich und einfach zu erstellen ist. Zudem drängt sich diese Darstellungsform auf, wenn keine anderen Möglichkeiten erkennbar sind.

Probleme ergeben sich, wenn der Sachverhalt zuwenig präzise formuliert ist. Falsche Interpretationen und Widersprüche können die Folge sein. Zudem sind bei der verbalen Darstellung Schlussfolgerungen nur bedingt möglich.

Der Vorteil der mathematisch-analytischen Darstellung liegt in der präzisen Beschreibung des Sachverhalts. Sie sind ideal bezüglich der Eindeutigkeit und Widerspruchsfreiheit. Analyseverfahren und Schlussregeln können angewendet werden.

Durch die mathematische Formulierung findet jedoch ein Laie unter Umständen keinen Zugang zum Modell. Schwierigkeiten können auch bei der Übersetzung in die mathematische Darstellung auftreten; der Rückschluss von den Ergebnissen im Modell auf die Realität stellt ein weiteres Problem dar. Oft stösst diese Darstellungsform an ihre Grenzen, weil es aufgrund der hohen Komplexität des abzubildenden Umweltausschnitts nicht möglich ist, die Abbildung ohne gravierende Einschränkungen zu machen. In diesem Fall ist die verbale Darstellungsform vorzuziehen.

In den nachfolgenden Kapiteln werden beide Darstellungsformen behandelt. Das Schwergewicht liegt bei der mathematisch-analytischen Form, denn im Kern handelt es sich beim nichtlinearen Modell von [Kreutzberg, 1998] sowie beim Prinzipal-Agent-Modell um ein Erklärungs-/ Entscheidungsmodell, welches den Umweltausschnitt formal abbildet.

Eine explizite Unterscheidung wird jedoch nur dort gemacht, wo sich die Aussagen nicht auf beide Modelltypen beziehen und die entsprechende Darstellungsform nicht aus dem Text hervorgeht.

Weiter gilt zu beachten, dass der Übergang von der verbalen zur mathematisch-analytischen Modellierung fliessend ist, wenn die beiden Darstellungsformen kombiniert werden.

Als Unterscheidungskriterium kann der Faktor Zeit herangezogen werden: In statischen Modellen wird die Zeit nicht (explizit) berücksichtigt. Alle Variablen gelten für einen bestimmten Zeitpunkt und das Modell beschreibt eine Situation. Es können mit dem Modell also keine Prozesse über die Zeit beschrieben werden.

Im Gegensatz dazu wird bei dynamischen Modellen der Faktor Zeit explizit berücksichtigt, und die Variablen sind nicht alle für den gleichen Zeitpunkt definiert. Sobald in einer Gleichung (® mathematisch-analytisches Modell) Variablen auftreten, die sich auf unterschiedliche Zeitpunkte beziehen, liegt ein dynamisches Modell vor.

Wenn Variablen von anderen Variablen und Parametern abhängen, kann aufgrund des Zusammenhangs dieser Grössen zwischen "linearen" und "nichtlinearen" Modellen unterschieden werden. Bei mindestens einer nichtlinearen Gleichung wird von einem nichtlinearen Modell gesprochen. (Zur Definition der Begriffe "Parameter", "Variablen", "Gleichungen", "Funktionen" usw. vgl. [Kleinewefers, 1983])

Beispiel: Der Prinzipal kann den Agenten mit folgendem linearen bzw. nichtlinearen Anreizsystem konfrontieren:

linear: s(x) = f + p * x (vgl. [Petersen, 1989; S. 58])

nichtlinear: s(x) = f + p * max {0,x} (vgl. [Spremann, 1989; S. 18])

s: Belohnung des Agenten (endogene Variable); f: Fixlohn (Parameter);

p: Provisionsanteil (Parameter; 0 < p £ 1); x: beobachtetes Ergebnis (Variable)

Lineare Modelle haben den Vorteil, dass sie mathematisch einfacher zu handhaben sind. Sie stellen jedoch nur einen sehr einfachen Zusammenhang zwischen den Variablen dar. Bei den nichtlinearen Modellen stellt sich eine andere Schwierigkeit: Welche Funktion stellt den Sachverhalt am besten dar? Die Wahl der Funktion kann mit theoretischen Überlegungen oder empirischen Beobachtungen begründet werden.

Unter einem Modell mit "Rückkoppelung" wird verstanden, dass darin eine Kausalschleife enthalten ist: Ein Element A hat einen Einfluss auf ein anderes Element B, wobei B in irgend einer Form wieder einen Einfluss auf das Element A ausübt. Durch den Einbezug von Rückkoppelungen in ein mathematisch-analytisches Modell können durchzuführende Berechnungen sehr schnell kompliziert werden.

Eine weitere Unterscheidung kann bezüglich der Berücksichtigung des Zufalls im Modell gemacht werden. Bei stochastischen Modellen wird dem Aspekt Rechnung getragen, dass Ereignisse nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit eintreten. Deterministische Modelle berücksichtigen den Zufall nicht explizit.

Als ein typisches Beispiel für ein stochastisches Modell kann der Prinzipal-Agent-Ansatz genommen werden: Nur wegen des Ausseneinflusses (Zufalls) kann der Prinzipal nicht direkt vom Ergebnis auf das Aktivitätsniveau des Agenten schliessen, weshalb überhaupt nach der optimalen Anreizfunktion gesucht werden muss.

Fehler können sich bei der Festlegung der Eintrittswahrscheinlichkeiten in stochastische Modelle einschleichen. Es stellt sich für den Modellbauer die Frage, ob der Einbezug von Wahrscheinlichkeiten überhaupt zweckmässig ist und welche Dichtefunktion gegebenenfalls zugrunde gelegt werden soll.

In geschlossenen Modellen werden nur Variablen verwendet, welche durch das Modell erklärt werden. Bei offenen Modellen wird mindestens eine Variable von aussen vorgegeben.

Selbstverständlich sind weitere Klassifikationen und Gruppierungen denkbar. In diesem Kapitel sind die im Hinblick auf die Problemstellung als wichtig erachteten Klassifikationen aufgezählt worden. Dabei sind Definitionen gemacht worden, welche in den weiteren Kapiteln verwendet werden.

2.1.3 Kritik an Modellen

Wie aus der Definition des Begriffs "Modell" zu entnehmen ist, handelt es sich dabei um ein Abbild der Realität mit dem Ziel, neue Erkenntnisse zu gewinnen. Es ist sofort klar, dass durch eine Reduktion der Komplexität und bei der Darstellung eines Umweltausschnitts immer Schwierigkeiten auftreten und Anlass zur Kritik geben. Im folgenden wird erklärt, welche Problembereiche sich grob unterscheiden lassen und welche Ansatzpunkte es für die Kritik an Modellen gibt.

Ausgangspunkt bildet die Realität, mit welcher sich der Wissenschafter (Modellbauer) beschäftigt und über welche er neue Erkenntnisse gewinnen möchte. Der Wissenschafter stellt sich bestimmte Fragen, formuliert Hypothesen, sammelt Informationen und fertigt daraufhin ein Modell an. Durch die logische Modellanalyse können aufgrund der gegebenen Elemente (Annahmen) auf neue Elemente (Ergebnisse) innerhalb des Modells geschlossen werden. Die Ergebnisse gilt es dann zu interpretieren und mit der Realität zu vergleichen.

Der gesamte Vorgang ist als iterativer Prozess zu verstehen, indem sich die einzelnen Phasen gegenseitig beeinflussen. Abbildung 1 stellt die einzelnen Schritte nochmals graphisch dar und zeigt die möglichen Ansatzpunkte zur Kritik:

Ein erster Problembereich und somit Ansatzpunkt zur Kritik besteht bei der Übersetzung der Realität in ein Abbild. Es stellt sich die Frage, welche Annahmen für das Modell getroffen wurden und wie realitätsnah diese sind. Beispielsweise wird im Strommodell davon ausgegangen, dass zwischen der Fachabteilungsquote und der Quote der Vorperiode ein nichtlinearer Zusammenhang besteht. Kritikpunkt kann auch das gewählte Abstraktionsniveau sein; wurden zu viele Details summiert als dass es die Problemstellung zulässt? Weiter ist zu prüfen, ob alle wesentliche Teile (Einflussfaktoren) im Modell enthalten sind.

Neben der Realitätsnähe sollte bei den Annahmen zusätzlich darauf geachtet werden, dass keine Widersprüche vorhanden sind und dass die Annahmen unabhängig und vollständig sind. Im Strommodell muss zum Beispiel die Annahme über die Quoten geprüft werden; ist es hinreichend, wenn als Einschränkung eine Quote kleiner als eins gefordert wird, oder muss zusätzlich die Bedingung "Summe aller Quoten gleich eins" gelten?

Weiter kann die Analyse des Modells kritisiert werden. Es wird dabei untersucht, ob die Schlussfolgerungen innerhalb des Modells logisch und mathematisch gerechtfertigt sind. Zudem kann geprüft werden, ob sich aus den gegebenen Annahmen noch weitere Schlüsse ableiten lassen und ob das Modell genügend gründlich "erforscht" wurde. Im nichtlinearen Modell von [Kreutzberg, 1998] sind zum Beispiel die mathematischen Ableitungen der Funktionen korrekt durchgeführt. Einwände gegen die somit gefundenen Resultate (innerhalb des Modells) wird es deshalb von Kritikern kaum geben. Hingegen kann der "Übergang" von den Ergebnissen im Modell auf die Realität sehr wohl Anstoss zur Kritik sein. Bei der Übersetzung können die gemachten Interpretationen unter Umständen wirklichkeitsfern sein.

Im Idealfall können die gefundenen Resultate direkt mit empirischen Tests überprüft werden. Weiter muss beurteilt werden, ob die gefundenen Ergebnisse überhaupt für die Problemstellung relevant sind und ob die Problemstellung als solche Sinn macht. Vor allem bei letzterer Frage können die Meinungen stark auseinander gehen.

Schlussendlich kann die allgemeine Modelltheorie an sich kritisiert werden. Hier muss allerdings darauf hingewiesen werden, dass immer mit "Modellen" gearbeitet wird - bewusst oder unbewusst - und diese allgegenwärtig sind. (vgl. [Kleinewefers, 1983; S. 44-47])

Wenn ein Modell untersucht werden muss, so ist dies unumgänglich auch mit einer Kritik am betreffenden Modell verbunden. Im Kapitel "Strommodell" wird das betreffende Modell auf Stärken und Schwächen analysiert. Dabei bezieht sich die Kritik auf die Punkte 1 - 4 (vgl. Abbildung 1), wobei im Sinne des iterativen "Erkenntnisprozesses" auch gleich Ergänzungen und Änderungen angebracht werden. Die Kritik an der Problemstellung wird unterlassen, da der zu klärende Sachverhalt (nach Ansicht des Autors) einem tatsächlichen Bedürfnis entspricht, und auf die Kritik an der Modelltheorie an sich wird aus dem oben aufgeführten Grund verzichtet.

2.1.4 Einordnung des nichtlinearen Modells von [Kreutzberg, 1998]

Das nichtlineare Modell von [Kreutzberg, 1998] wird im Kapitel "Strommodell nach [Kreutzberg, 1998]) konkret vorgestellt. Für eine erste Einschätzung des Modells wird es in diesem Abschnitt aber bereits aufgrund der vorgestellten Unterscheidungskriterien eingeordnet.

Das Modell von [Kreutzberg, 1998] kann grob in zwei Teilmodelle unterteilt werden. Die Trennung drängt sich aufgrund der unterschiedlichen Darstellungsformen auf. Im ersten, "grundlegenden" Modell erfolgt die Darstellung verbal / graphisch. Dieses Teilmodell bildet die Ausgangslage für das andere Modell (im weiteren als "formales Strommodell" bezeichnet). Die Einordnung wird für beide Teilmodelle gemacht.

2.1.5 Einordnung des Prinzipal-Agent-Standardmodells

Wie im vorhergehenden Abschnitt wird das Modell eingeordnet, um einen ersten Überblick zu erhalten. Es gibt in der Prinzipal-Agent-Theorie eine Reihe von Modellen, welche sich teilweise sehr stark unterscheiden und welchen unterschiedliche Annahmen zugrunde liegen. Die folgenden Aussagen beziehen sich auf das Standardmodell, wie es beispielsweise in [Wagenhofer, 1997; S. 413-422], beschrieben wird.

Dieses Modell dient häufig als Ausgangslage für Erweiterungen. Eine wichtige Annahme ist dabei, dass Informationsasymmetrie bezüglich der Aktion des Agenten besteht (hidden action).